Что нам нужно?
1. Логин в Яндексе.
2. Прикреплённый домен в системе ucoz.
3. Немного свободного времени.

Первый этап
Заходим в Яндекс.ПДД и подключаем свой домен

Дальше Яндекс попросить сделать вас два действия.
1. Загрузить в корень определённый файл (это вы сделаете без пояснений).
2. Настроить MX
Загружаем нужный файлик и переходим ко второму этапу.

Второй этап
Панель управления » Перенос домена » Редактирование записей домена (режим эксперта)

Делаем следующие настройки:

Они же в текстовом виде
1. 10 mx.yandex.ru.
2. v=spf1 redirect=_spf.yandex.ru

Возвращаемся на вкладку с Яндекс.ПДД и жмём "Подключить домен".

Хочу обратить ваше внимание на то, что нужно какое-то время на то, чтобы в ucoz'е настроились MX. Это я к тому что Яндекс в начале может писать, что ничего не настроено.

Третий этап
Создавайте себе системные ящики типа admin, support, mail и т.п.

В разделе Мои домена клацайте на ваш домен, а дальше ищите кнопку "Настроить домен". Там вы можете разрешить свободную регистрацию пользователей на сайте.